О подобии течения в дальнем вихревом следе

Многообразие конструкций самолетов делает задачу изучения даль­них спутных следов трудной и многовариантной. В процессе иссле­дования характеристик дальнего спутного следа за самолетами было замечено, что вихревые следы имеют много общих закономерностей. Оказалось, что если соблюдать определенные условия, можно доБиться подобия течения в дальнем спутном следе. Получим эти критерии подобия.

Рассмотрим процесс формирования вихревого следа за тонким пря­моугольным крылом умеренного удлинения. Пусть передняя кромка крыла обтекается плавно без отрыва потока. Вихревая пелена, сбегаю­щая с Боковых и задней кромок, со временем сворачивается в два вих­ревых жгута и, распространяясь за крылом, опускается вниз. Особый интерес представляет расстояние от задней кромки крыла, на котором пелену можно считать полностью свернувшейся. Процесс трансфор­мации следа идет на всем протяжении за крылом, поэтому понятие «полностью свернувшаяся пелена» имеет асимптотический смысл и для определения расстояния, на котором происходит сворачивание пелены, необходимо использовать дополнительные частные критерии, базиру­ющиеся, например, на оценках точности вычислений или заданного уровня погрешностей определения параметров потока. Оценка рассто­яния может Быть проведена на основе подходов теории тонкого тела. Исходя из теории подобия расстояние L, на котором пелена полностью сворачивается, может быть определено по формуле

L = k V0, (4.28)

где к — поправочный коэффициент, b — характерный размер (хорда крыла), V0 — скорость невозмущенного потока, V’ — скорость, индуци­руемая вихревой системой крыла.

Скорость V’ определяется величиной циркуляции скорости Го во­круг сєчєния крыла, поэтому

где bL — длина вихря с циркуляцией Го, которая связана с подъемной силой крыла Ya соотношением

Ya = poVoTobL.

Из (4.29) и (4.30) следует, что

L и bbL(poVo и bА, (4.31)

Y a Cya

где А — удлинение крыла. Так как характерный линейный размер b для следа за крылом пропорционален его размаху l, из (4.31) имеем

(4.32)

Коэффициент к в (4.32) определяется с учетом сворачивания вихревой пелены.

Очевидно, что при сворачивании пелены в два вихревых жгута циркуляция To каждого жгута равна циркуляции в корневом сечении крыла и в соответствии с теоремой Н. Е. Жуковского связана с ко­эффициентом подъемной силы этого сечения Cya и хордой корневого сечения b соотношением

To = V° (Cyab). (4.33)

Для определения расстояния между вихревыми жгутами lo предста­вим систему присоединенных вихрей, моделирующих крыло, в ви­де совокупности П-образных вихрей, у которых один из продольных вихрей проходит через корневое сечение. При таком представлении вихревой системы крыла его подъемная сила может быть определена соотношением n

Ya = PoV)^ TiZi, (4.34)

i=1

где Zi — расстояние от корневой хорды крыла до вихревых шнуров, моделирующих вихревую пелену, n — число вихревых шнуров с цирку­ляциями Г i.

Из выражения (4.34) следует, что при постоянстве подъемной силы и отсутствии скольжєния постоянна также координата «центра тяже­сти» вихрей для каждой консоли крыла

no

zUB = n—^2 riZi, (4.35)

VTi i=1

где no — число вихрей, моделирующих консоль крыла.

При отсутствии влияния зємли величина z4B = const в каждом сечении следа и, следовательно, совпадает с Боковой координатой вих­ревого жгута, т. е.

С учетом того, что

выражение (4.36) преобразуется к виду

Соотношения (4.39) выведены в рамках допущений линейной тео­рии крыла, в частности это касается определения подъемной силы кры­ла. Из теории тонкого тела для lo можно получить простую формулу

lo = 41. (4.40)

Следует заметить, что соотношение (4.40) может быть получено и в рамках линейной теории с использованием дополнительного пред­положения об эллиптическом распределении циркуляции по размаху крыла l. С помощью выражений (4.34), (4.35) и (4.39) можно найти критерии эквивалентности крыльев с точки зрения подобия возмуще­ний, вносимых в поток крылом:

(cyab)! = (Cya(Cyab)l = (Cyab)2, (4.41)

где индексы 1 и 2 обозначают принадлежность соответствующих вели­чин к характеристикам двух сопоставляемых крыльев.

Очевидно, что приведенные выше соотношения справедливы и для системы несущих поверхностей, симметричных относительно плос­кости, проходящей через вектор скорости невозмущенного потока. Применительно к системе m несущих поверхностей формулы (4.23) и (4.39) приобретают вид

где i — номер несущей поверхности

Из соотношений (4.33), (4.39) и (4.42) следует, что вихревые следы с совпадающими основными параметрами могут быть созданы раз­личными крыльями и несущими системами. Следовательно, /о и Го можно считать параметрами подобия аэродинамических поверхностей по характеристикам спутного следа. Для плоских монопланных крыль­ев простой формы в плане, характеризуемой удлинением А, углом стреловидности по передней кромке х и сужением п, условия эквива­лентности по параметрам следа, т. е. соотношения подобия, могут быть представлены в виде

Величины без индекса, входящие в (4.43), относятся к некоторому базовому крылу, а индексом к = 1,2,… отмечены величины, относя­щие к семейству эквивалентных крыльев.

Таким образом, при изучении характеристик вихревого следа за са­молетами можно, используя критерии подобия (4.41), свести задачу к рассмотрению характеристик и возмущений, создаваемых эквива­лентным крылом. Такой подход позволяет заметно упростить прове­дение исследований, например, по воздействию дальнего вихревого следа на аэродинамику и динамику полета летательных аппаратов, так как учет и использование критериев подобия по характеристикам вихревого следа обеспечивает сокращение рассматриваемых вариантов.

На рис. 4.3 в качестве примера приведены поля возмущенных скоростей за самолетом Ту-154М (а) и эквивалентным ему крылом (б) на расстояниях X = 153 м. Наблюдается заметное различие полей возмущенных скоростей.

Рис. 4.4 представляет поля возмущенных скоростей на расстояниях X = 4132 м. В этом случае вихревые следы за самолетом Ту-154М (а) и эквивалентным ему крылом (б) полностью идентичны.